【题目】如图,已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,点P在线段OA上,从点A以1个单位/秒的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B以个单位/秒的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当t为何值时,△APQ为直角三角形;
(3)过点P作PE∥y轴,交AB于点E,过点Q作QF∥y轴,交抛物线于点F,连接EF,当EF∥PQ时,求点F的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)当t=1或t=时,△PQA是直角三角形;(3)点F的坐标为(2,3).
【解析】试题分析:(1)先利用直线解析式确定A点和B点坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)OP=t,AQ=t,则PA=3-t,先判断∠QAP=45°,讨论:当∠PQA=90°时,如图①,利用等腰直角三角形的性质得PA=AQ,即3-t=t;当∠APQ=90°时,如图②,利用等腰直角三角形的性质得AQ=AP,即t=(3-t),然后分别解关于t的方程即可;
(3)如图③,延长FQ交x轴于点H,设点P的坐标为(t,0),则点E的坐标为(t,-t+3),易得△AQH为等腰直角三角形,则AH=HQ=AQ=t,则可表示出点Q的坐标为(3-t,t),点F的坐标为[3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3)],所以FQ=-t2+3t,再证明四边形PQFE为平行四边形得到EP=FQ.即3-t=3t-t2,然后解方程求出t即可得到点F的坐标.
试题解析:(1)∵y=﹣x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴当y=0时,x=3,即A点坐标为(3,0),当x=0时,y=3,即B点坐标为(0,3).
∵将A(3,0),B(0,3)代入得: ,解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)∵OA=OB=3,∠BOA=90°,
∴∠QAP=45°.
如图①所示:∠PQA=90°时.
设运动时间为t秒,则QA=t,PA=3﹣t.
在Rt△PQA中, ,即.
解得:t=1.
如图②所示:∠QPA=90°时.
设运动时间为t秒,则QA=t,PA=3﹣t.
在Rt△PQA中, ,即.
解得:t=.
综上所述,当t=1或t=时,△PQA是直角三角形.
(3)如图③所示:
设点P的坐标为(t,0),则点E的坐标为(t,﹣t+3),则EP=3﹣t.点Q的坐标为(3﹣t,t),点F的坐标为(3﹣t,﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3),即F(3﹣t,4t﹣t2),则FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2.
∵EP∥FQ,EF∥PQ,
∴四边形EFQP为平行四边形.
∴EP=FQ,即3﹣t=3t﹣t2.
解得:t1=1,t2=3(舍去).
将t=1代入得点F的坐标为(2,3).
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【题目】“又甜又脆”水果店现从批发市场买进6箱苹果,买进价每箱40元,以每箱为准,称重记示如下(超过为正,不足为负,单位:):,,0,0.3, ,2.
(1)问这6箱苹果的总重量是多少?
(2)在出售这批苹果时,有的苹果烂掉(不能出售),若出售价为8元/,卖完这批苹果该水果店可可赢利多少元?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠ACD=3∠BCD,E是斜边AB的中点,则∠ECD的度数为__________度.
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【题目】(1)把下列各数分别填在相应的集合里:
, , ,,0, ,……
正有理数集合:{ …}
整数集合:{ …}
分数集合:{ …}
(2)在下面的数轴上表示下列各数,并按照从小到大的顺序用“<”号连接起来
,,, ,
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【题目】两地相距千米,甲、乙两人都从地去地,图中和分别表示甲、乙两人所走路程(千米)与时间(小时)之间的关系.对于下列说法:①乙晚出发小时;②乙出发小时后追上甲;③甲的速度是千米/小时;④乙先到达地,其中正确的个数是( )
A.个B.3个C.2个D.1个
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【题目】公司销售部门提供了某种产品销售收入(记为: /元)、销售成本(记为:/元)、销售量(记为: /吨)方面的信息如下:
①时,;
②时, ;
③与成正比例函数关系;④与成一次函数关系.
依据上述信息,解决下列问题:
(1)分别求出与的函数关系式;
(2)销售量为多少吨时,销售收入与销售成本相同?
(3)若销售量为吨时,求公司的利润. (利润=销售收入-销售成本)
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【题目】[材料阅读]
材料一:如图,,点在的平分线上,,点,D分别在上.可求得如下结论:,为定值.
材料二(性质):四边形的内角和为.
[问题解决]
(1)如图,点在的平分线上,的边与交于点,且,求的值(用含的式子表示).
(2)如图,在平面直角坐标系中,直线与轴,轴分别交于两点,点是的中点,,与轴交于点,与轴的正半轴交于点,连接.求的长度.
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【题目】已知,如图,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°,然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米,在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.
求:(1)坡顶A到地面PO的距离;
(2)古塔BC的高度(结果精确到1米).
(参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
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【题目】学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服,现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查,并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图(校服型号以身高作为标准,共分为6个型号)
根据以上信息,解答下列问题:
(1)该班共有 名学生;
(2)在扇形统计图中,185型校服所对应的扇形圆心角的大小为 ;
(3)该班学生所穿校服型号的众数为 ,中位数为 ;
(4)如果该校预计招收新生600名,根据样本数据,估计新生穿170型校服的学生大约有多少名?
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