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【题目】如图,已知直线y=﹣x+3x轴、y轴分别交于A,B两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A,B两点,点P在线段OA上,从点A1个单位/秒的速度匀速运动;同时,点Q在线段AB上,从点A出发,向点B个单位/秒的速度匀速运动,连接PQ,设运动时间为t秒.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当t为何值时,△APQ为直角三角形;

(3)过点PPEy轴,交AB于点E,过点QQFy轴,交抛物线于点F,连接EF,当EFPQ时,求点F的坐标.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)t=1t=时,△PQA是直角三角形;(3)F的坐标为(2,3).

【解析】试题分析:1)先利用直线解析式确定A点和B点坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;

2OP=tAQ=t,则PA=3-t,先判断∠QAP=45°,讨论:当∠PQA=90°时,如图①,利用等腰直角三角形的性质得PA=AQ,即3-t=t;当∠APQ=90°时,如图②利用等腰直角三角形的性质得AQ=AP,即t=3-t),然后分别解关于t的方程即可;

3)如图③,延长FQx轴于点H,设点P的坐标为(t0),则点E的坐标为(t-t+3),易得AQH为等腰直角三角形,则AH=HQ=AQ=t,则可表示出点Q的坐标为(3-tt),点F的坐标为[3-t-3-t2+23-t+3],所以FQ=-t2+3t,再证明四边形PQFE为平行四边形得到EP=FQ.即3-t=3t-t2,然后解方程求出t即可得到点F的坐标.

试题解析:1y=﹣x+3x轴交于点A,与y轴交于点B

∴当y=0时,x=3,即A点坐标为(30),当x=0时,y=3,即B点坐标为(03).

∵将A30),B03)代入得: ,解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

2OA=OB=3BOA=90°

∴∠QAP=45°

如图①所示:∠PQA=90°时.

设运动时间为t秒,则QA=tPA=3t

RtPQA中, ,即

解得:t=1

如图②所示:∠QPA=90°时.

设运动时间为t秒,则QA=tPA=3t

RtPQA中, ,即

解得:t=

综上所述,当t=1t=时,PQA是直角三角形.

3)如图③所示:

设点P的坐标为(t0),则点E的坐标为(t﹣t+3),则EP=3﹣t.点Q的坐标为(3﹣tt),点F的坐标为(3﹣t3﹣t2+23﹣t+3),即F3﹣t4t﹣t2),则FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2

EPFQEFPQ

∴四边形EFQP为平行四边形.

EP=FQ,即3﹣t=3t﹣t2

解得:t1=1t2=3(舍去).

t=1代入得点F的坐标为(23).

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