Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣ x2+bx+4与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）

（1）求抛物线的解析式及其对称轴．
（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．
（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点B（8，0）在抛物线y=﹣ x2+bx+4上，

∴﹣ ×64+8b+4=0，

解得：b= ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+4，

对称轴为直线x=﹣ =3

（2）

解：△AOC∽△COB．

理由如下：令y=0，则﹣ x2+ x+4=0，

即x2﹣6x﹣16=0，

解得：x1=﹣2，x2=8，

∴点A的坐标为（﹣2，0），

令x=0，则y=4，

∴点C的坐标为（0，4），

∴OA=2，OB=8，OC=4，

∵ = =2，∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB

（3）

解：设直线BC的解析式为y=kx+b，

则 ，

解得： ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+4，

∵MN∥y轴，

∴MN=﹣ x2+ x+4﹣（﹣ x+4），

=﹣ x2+ x+4+ x﹣4，

=﹣ x2+2x，

=﹣ （x﹣4）2+4，

∴当x=4时，MN的值最大，最大值为4

（4）

解：由勾股定理得，AC= =2 ，

过点C作CD⊥对称轴于D，则CD=3，

①AC=CQ时，DQ= = = ，

点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+ ，

此时点Q1（3，4+ ），

点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4﹣ ，

此时点Q2（3，4﹣ ），

②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=5，

CQ= =5，

∴AQ=CQ，

此时，点Q3（3，0），

③当AC=AQ时，∵AC=2 ，点A到对称轴的距离为5，2 ＜5，

∴这种情形不存在．

综上所述，点Q的坐标为（3，4+ ）或（3，4﹣ ）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形．

【解析】（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值，即可得到抛物线解析式，再根据对称轴方程列式计算即可得解；（2）令y=0，解方程求出点A的坐标，令x=0求出y的值得到点C的坐标，再求出OA、OB、OC，然后根据对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似证明；（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出解析式，再表示出MN，然后根据二次函数的最值问题解答；（4）利用勾股定理列式求出AC，过点C作CD⊥对称轴于D，然后分①AC=CQ时，利用勾股定理列式求出DQ，分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离，再写出点的坐标即可；②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ=CQ，再写出点Q的坐标即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．