Question

5．如图，分别是吊车在吊一物品时的示意图，已知吊车底盘CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为75°，吊臂AC与地面成75°角．
（1）求证：AB=AC
（2）求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？（保留根号）

Answer 1

分析 （1）欲证明AB=AC，只要证明∠ABC=∠BCA即可．
（2）作AL⊥BC于L，在AE上截取一点M，使得AM=MC．首先证明△ACL≌△ACE，得到CL=CE=2，只要证明∠CME=30°，求出CM，ME即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，∵∠BCH=30°，∠ACE=75°，
∴∠ACB=180°-∠BCH-∠ACE=75°，
∵∠ABC=75°，
∴∠ABC=∠BCA，
∴AB=AC．

（2）解：作AL⊥BC于L，在AE上截取一点M，使得AM=MC．
在△ACL和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACL=∠ACE}\\{∠ALC=∠AEC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACL≌△ACE，
∴CL=CE，
∵AB=AC，AL⊥BC，BC=4，
∴BL=CL=CE=2，
∵MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=90°-∠ACE=15°，
∴∠CME=30°，
∴CM=AM=2CE=4，ME=2$\sqrt{3}$，
∴AE=AM+ME=4+2$\sqrt{3}$，
∴AF=AE+EF=4+2$\sqrt{3}$+2=6+2$\sqrt{3}$．
吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是（6+2$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查解直角三角形的应用、全等三角形的判定和性质、直角三角形的30度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．