Question

20．如图．∠A=90°，⊙O是△ABC的内切圆，内切圆半径为1，与三边的切点分别是点E，F，D，AC=4，求AB，BC的长．

Answer 1

分析 设BE=BD=x，连接OE，OF，OD，推出四边形AEOF是正方形，得到AE=AF=1，求得CD=CF=3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：设BE=BD=x，
连接OE，OF，OD，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠A=∠AEO=∠AFO=90°，
∴四边形AEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴矩形AEOF是正方形，
∴AE=AF=1，
∵AC=4，
∴CD=CF=3，
∵AB²+AC²=BC²，
即（1+x）²+4²=（x+3）²，
∴x=2，
∴AB=3，BC=5．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，正方形的判定和性质，切线长定理，正确的作出辅助线是解题的关键．