Question

12．已知⊙O的半径为2，弦AB=2$\sqrt{2}$，弦AC=2$\sqrt{3}$，求∠BOC的度数．

Answer 1

分析 分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E，则根据垂径定理得到AE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，再根据锐角三角函数的定义，在Rt△OAE中可计算出∠OAE=30°，在Rt△OAD中计算出∠OAD=45°，然后分类讨论：当AB，AC在圆心的两侧时，∠BAC=∠OAD+∠OAE；当AB，AC在圆心的同侧时∠BAC′=∠OAD-∠OAE，再由圆周角定理即可得出结论．

解答 解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E，
∵OE⊥AC，OD⊥AB，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，AD=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{2}$，
在Rt△OAE中，
∵cos∠OAE=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠OAE=30°，
在Rt△OAD中，∵cos∠OAD=$\frac{AD}{AO}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠OAD=45°，
当AB，AC在圆心的两侧时，∠BOC=2∠BAC=2（∠OAD+∠OAE）=2（45°+30°）=150°；
当AB，AC在圆心的同侧时∠BOC=2∠BAC′=2（∠OAD-∠OAE）=2（45°-30°）=30°．
综上所述，综上所述，∠BOC的度数为150°或30°

点评 本题考查的是圆周角定理及垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了锐角三角函数的定义．