Question

18．如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC交AB于M，PD⊥AC于D，若PD=10，则AM=20．

Answer 1

分析 过点P作PE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PE，根据两直线平行，同位角相等可得∠PME=∠BAC，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PM=2PE，根据角平分线的定义可得∠BAP=∠CAP，根据两直线平行，内错角相等可得∠CAP=∠APM，从而得到∠BAP=∠APM，然后根据等角对等边可得AM=PM．

解答 解：如图，过点P作PE⊥AB于E，
∵P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，
∴PD=PE=10，
∵PM∥AC，
∴∠PME=∠BAC=30°，
∴PM=2PE=2×10=20，
∵P是∠BAC平分线上一点，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PM∥AC，
∴∠CAP=∠APM，
∴∠BAP=∠APM，
∴AM=PM=20．
故答案为：20．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并作辅助线构造出含30°角的直角三角形是解题的关键．