Question

2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：EP²+FQ²=EF²．

Answer 1

分析 作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP²=EC•ED，FQ²=FC•FB，得出结论．

解答 证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FDC=∠ABC，
∵B、C、G、E四点共圆，
∴∠ABC=∠CGE，
∴∠FDC=∠ABC=∠CGE，
∴F、D、C、G四点共圆，
由切割线定理得：EP²=EC•ED，
FQ²=FC•FB，
EF²=（EG+GF）•EF=EG•EF+GF•EF=EC•ED+FC•FB，
∴EP²+FQ²=EF²．

点评 本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质，本题运用了圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）；反之也成立；在证明线段的平方和时，一方面考虑利用勾股定理来求，另一方面考虑利用切割线定理列式得出．