Question

15．点O是等边三角形ABC内一点，且OB=OC，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°．得△ADC，连接AO、DO．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当∠AOB=105°时，判断△AOD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到CO=CD，∠OCD=60°，根据等边三角形的判定定理即可得到△COD是等边三角形；
（2）根据OB=OC，AB=AC，得到AO垂直平分BC，求得∠BAO=30°，根据三角形的内角和得到∠ABO=45°，求得∠OBC=15°，根据周角的定义得到∠DAO=∠AOD=45°，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；

（2）△AOD是等边三角形，
理由：∵OB=OC，AB=AC，
∴AO垂直平分BC，
∴∠BAO=30°，
∵∠AOB=105°，
∴∠ABO=45°，
∴∠OBC=15°，
∴∠DAC=∠OBC=45°，∠BOC=150°，
∴∠AOD=360°-105°-150°-60°=45°，
∴∠DAO=∠AOD=45°，
∴∠ADO=90°，AD=OD，
∴△AOD是等腰直角三角形．

点评 本题考查了运用旋转的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．