Question

19．已知二次函数y=ax²+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：

x	…	-1	0	1	2	3	…
y	…	10	5	2	1	2	…

（1）求该二次函数的函数关系式；
（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；
（3）求出y≤10时自变量x的取值范围（可以结合图象说理）．

Answer 1

分析 （1）当x=1或3时，y均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a的值，也就求得了二次函数的值；
（2）根据图表中的对应点，画出函数的图象即可；
（3）由表格中的值可以判断函数值等于10的自变量的值，再利用二次函数增减性求出即可．

解答 解：（1）由图表可知抛物线y=ax²+bx+c过点（1，2），（3，2），求出对称轴即可：
x=2；
∴顶点坐标为：（2，1），
∴设y=a（x-2）²+1，
将（1，2）代入可得：a+1=2，
解得：a=1，
∴二次函数的解析式为：y=（x-2）²+1=x²-4x+5．

（2）由表格中的值可以判断：
图象与x轴交点坐标为：（1，2），（3，2），顶点坐标为：（2，1），


（3）由图表可知抛物线y=ax²+bx+c过点（-1，10），求出对称轴：x=2；
∴抛物线y=ax²+bx+c过点（5，10），
∴y≤10时自变量x的取值范围：-1≤x≤5．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象．