Question

19．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB延长线上，且∠BCD=∠A．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，AC=2$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，再利用等腰三角形的性质得∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，则∠A+∠BCO=90°，加上∠BCD=∠A，所以∠BCD+∠BCO=90°，于是根据切线的判定方法可判断DC是⊙O的切线；
（2）根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ACB中计算出BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2，AB=2BC=4，再计算出∠AOC=120°，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S_扇形AOC-S_△AOC进行计算．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵OA=OC，OB=OC，
∴∠A=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠A+∠BCO=90°，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，∵∠A=30°，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2，
AB=2BC=4，
∵∠AOC=180°-∠A-∠ACO=120°，
∴图中阴影部分的面积=S_扇形AOC-S_△AOC=S_扇形AOC-$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•2•2$\sqrt{3}$=$\frac{4}{3}$π-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．注意把不规律图形的面积的计算问题化为规则图形面积的和差的计算问题．