Question

11．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是BC边的中点，点E，F分别在AC，BC上，连接DE，DF，∠EDF=90°．
（1）求证：AE+BF=AC；
（2）若AB=4，求四边形DECF的面积．

Answer 1

分析 （1）连接CD，证明△CED≌△BFD即可；
（2）由△CED≌△BFD，可知四边形DECF的面积=△CDB的面积．

解答 解：（1）连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，点D是BC边的中点，
∴∠ACD=∠B=45°，CD=BD=$\frac{1}{2}$AB，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CED和△BFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠B}\\{CD=BD}\\{∠CDE=∠BDF}\end{array}\right.$，
∴△CED≌△BFD，
∴CE=BF
∴AE+BF=AC；
（2）∴△CED≌△BFD，
∴S_{四边形DECF}=S_△CDB，
∵AB=4，
∴S_△CDB=$\frac{1}{2}$×2²=2，
∴S_{四边形DECF}=2．

点评 此题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解决问题的关键．