Question

4．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E．
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）判断直线BE与抛物线交点的个数；
（3）求证：CD垂直平分BE；
（4）若P是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得△PBE是等腰直角三角形，且∠PEB=90°？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点B的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点B的坐标，根据点O的坐标结合抛物线的对称轴即可找出点A的坐标，设抛物线的函数关系式为y=ax（x-4），代入点B的坐标求出a值即可；
（2）将直线BE的函数关系式代入抛物线的函数关系式中可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=0，即可得出直线BE与抛物线只有一个交点；
（3）根据点E的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点E的坐标，结合点B、C的坐标利用两点间的距离公式，即可得出CE=CB，再根据点B、D、E的坐标利用两点间的距离公式，即可得出BD=DE，根据等腰三角形的三线合一即可证出CD垂直平分BE；
（4）过点E作ME⊥BE交x轴于点M，过点B作BN⊥直线x=2于点N，则△EBN∽△MEC，根据相似三角形的性质即可找出点M的坐标，由点E、M的坐标利用待定系数法可求出直线EM的函数关系式，将其代入抛物线的函数关系式中可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-60＜0，即可得出直线EM与抛物线无交点，由此得出不存在满足条件的点P．

解答 解：（1）∵点B（-2，m）在直线上y=-2x-1上，
∴m=-2×（-2）-1=3，
∴B（-2，3）．
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴点A的坐标为（4，0）．
设所求的抛物线对应函数关系式为y=ax（x-4），
将点B（-2，3）代入上式，
3=-2a×（-2-4），解得：a=$\frac{1}{4}$，
∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=$\frac{1}{4}$x（x-4）=$\frac{1}{4}$x²-x．
（2）将y=-2x-1代入y=$\frac{1}{4}$x²-x，得：$\frac{1}{4}$x²-x=-2x-1，
整理得：x²+4x+4=0，
∴△=4²-4×1×4=0，
∴直线BE与抛物线只有一个交点．
（3）证明：当x=2时，y=-2x-1=-5，
∴E（2，-5）．
∵C（2，0），B（-2，3），
∴CE=0-（-5）=5，CB=$\sqrt{（-2-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=5，
∴CE=CB．
∵D（0，-1），B（-2，3），E（2，-5），
∴BD=$\sqrt{（-2-0）^{2}+[3-（-1）]^{2}}$=2$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{（0-2）^{2}+[-1-（-5）]^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BD=DE，
∴CD垂直平分BE．
（4）不存在，理由如下：
过点E作ME⊥BE交x轴于点M，过点B作BN⊥直线x=2于点N，如图所示．
∵B（-2，3），E（2，-5），
∴BN=2-（-2）=4，EN=3-（-5）=8，CE=0-（-5）=5．
∵∠BEN+∠EBN=90°，∠BEN+∠MEC=90°，
∴∠EBN=∠MEC，
∴△EBN∽△MEC，
∴$\frac{MC}{EC}=\frac{EN}{BN}$，
∴MC=10，
∴M（12，0）．
设直线EM的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将E（2，-5）、M（12，0）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-5}\\{12k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线EM的函数关系式为y=$\frac{1}{2}$x-6．
将y=$\frac{1}{2}$x-6代入y=$\frac{1}{4}$x²-x，得：$\frac{1}{4}$x²-x=$\frac{1}{2}$x-6，
整理得：x²-6x+24=0，
∴△=（-6）²-4×1×24=-60＜0，
∴直线EM与抛物线无交点，
∴不存在满足条件的点P．

点评 本题考查了二次函数的综合题、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、根的判别式、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征找出点B的坐标；（2）由根的判别式△=0，得出直线BE与抛物线只有一个交点；（3）利用两点间的距离公式找出CE=CB、BD=DE；（4）由根的判别式△=-60＜0，得出直线EM与抛物线无交点．