Question

19．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D在边AE上，若AC=10，AD=2$\sqrt{10}$，求DC的长．

Answer 1

分析 过点C作CF⊥DE于F，设DC=x，根据等腰直角三角形的性质可得CF=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，再表示出AF，然后利用勾股定理列方程求解即可．

解答 解：如图，过点C作CF⊥DE于F，设DC=x，
∵△ECD是等腰直角三角形，
∴CF=DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵AD=2$\sqrt{10}$，
∴AF=AD+DF=AD=2$\sqrt{10}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
在Rt△ACF中，根据勾股定理得，
AF²+CF²=AC²，
即（2$\sqrt{10}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²=10²，
整理得，x²+4$\sqrt{5}$x-60=0，
解得x₁=2$\sqrt{5}$，x₂=-6$\sqrt{5}$（舍去），
所以，DC的长为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，作辅助线，构造出直角三角形并利用勾股定理列出方程是解题的关键．