Question

14．如图，已知O为矩形ABCD对角线的交点，过点D作DE∥AC，过点C作CE∥BD，且DE、CE相交于E点．
（1）求证：四边形OECD是菱形；
（2）若AB=4，AC=8，求菱形OCED的面积．

Answer 1

分析 （1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，
（2）根据S_△ODC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD以及四边形OCED的面积=2S_△ODC即可解决问题．

解答 （1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC，
∴四边形CODE是菱形；

（2）解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=4，AC=8，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴矩形ABCD的面积=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$，
∵S_△ODC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=4$\sqrt{3}$，
∴四边形OCED的面积=2S_△ODC=8$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．