Question

如图，点A为反比例函数y=的图象上一点，点B在x轴上且OA=BA，延长BA交y轴于点C，延长AO交双曲线于点D，则△BCD的面积为

1. A.
   2
2. B.
   4
3. C.
   3
4. D.
   6

Answer 1

B
分析：过A作AE垂直于x轴，由反比例函数k的几何意义得到三角形AOE的面积为|k|，由OA=BA，利用三线合一得到AE为顶角平分线，且E为OB的中点，根据等底同高得到三角形AOE面积与三角形ABE面积相等，由AE与OC平行，利用两直线平行内错角相等、同位角相等，得到两对角相等，等量代换及等角对等边得到AC=AO，可得出AC=AB，即A为BC的中点，根据等底同高得到三角形AOC面积与三角形AOB面积相等，而反比例函数为中心对称图形，可得出OA=OD，即O为AD中点，利用等底同高得到三角形COD面积与三角形AOC面积相等，三角形DOB面积与三角形AOB面积相等，由四个三角形面积之和即可求出三角形BCD的面积．
解答：解：过A作AE⊥x轴，交x轴于点E，
由反比例函数k的几何意义得到：S_△AOE=|k|=，
∵OA=BA，
∴∠AOB=∠ABO，
∴AE为∠OAB的平分线，即∠OAE=∠BAE，E为OB的中点，
∴S_△AOB=2S_△AOE=1，
∵AE∥OC，
∴∠BAE=∠BCO，∠OAE=∠AOC，
∴∠BCO=∠AOC，
∴AC=AO，
∴AC=AB，
∴S_△AOC=S_△AOB=1，
∵反比例函数为中心对称图形，
∴OA=OD，
∴S_△DOC=S_△AOC=1，S_△AOB=S_△DOB=1，
则S_△BOD=S_△AOB+S_△AOC+S_△DOB+S_△DOC=4．
故选B
点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：反比例函数k的几何意义，反比例函数的对称性，等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，其中灵活运用等底同高的两三角形面积相等是解本题的关键．