Question

20．已知关于x的方程kx²+（2k-3）x+k-3=0只有整数根，且关于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0有两个实数根y₁和y₂
（1）当k为整数时，确定k的值；
（2）当k时整数且k＞2时，用含有m的代数式表示S=4y₁⁴+6y₂³+2my₁²（不含有y₁和y₂），并求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由于方程kx²+（2k-3）x+k-3=0的解为x₁=$\frac{6}{2k}$-1，x₂=-1，根据此方程只有整数根，于是得到k=±1或±3；
（2）由当k为整数且k＞2时，求得k=3，得到关于y的一元二次方程为2y²-3y+m=0，根据根与系数的关系得到y₁+y₂=$\frac{3}{2}$，y₁•y₂=$\frac{m}{2}$，根据方程的解的定义得到2y₁²-3y₁+m=0，2y₂²-3y₂+m=0代入S=4y₁⁴+6y₂³+2my₁²=（3y₁-m）²+3（3y₂²-my₂）+m（3y₁-m）化简得到S=-$\frac{27}{2}$m+$\frac{81}{4}$，根据△=9-4×2m＞0，求得m＜$\frac{9}{8}$，于是得到结论．

解答 解：（1）∵方程kx²+（2k-3）x+k-3=0的解为：
x=$\frac{（3-2k）±\sqrt{（2k-3）^{2}-4k（k-3）}}{2k}$，
∴x₁=$\frac{6}{2k}$-1，x₂=-1，
∵此方程只有整数根，
∴k=±1或±3；

（2）∵当k为整数且k＞2时，
∴k=3，
∴关于y的一元二次方程为2y²-3y+m=0，
∵此方程的两个实数根y₁和y₂，
∴y₁+y₂=$\frac{3}{2}$，y₁•y₂=$\frac{m}{2}$，2y₁²-3y₁+m=0，2y₂²-3y₂+m=0，
∴2y₁²=-3y₁-m，2y₂²=3y₂-m，
∴2y₂³=3y₂²-my₂，
∴S=4y₁⁴+6y₂³+2my₁²=（3y₁-m）²+3（3y₂²-my₂）+m（3y₁-m）
=9（y₁²+y₂²）-3m（y₁+y₂），
∵y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=$\frac{9}{4}$-m，
∴S=9（$\frac{9}{4}$-m）-3m•$\frac{3}{2}$=$\frac{81}{4}$-9m-$\frac{9}{2}$m=-$\frac{27}{2}$m+$\frac{81}{4}$∵△=9-4×2m＞0，
∴m＜$\frac{9}{8}$，
∴S=$-\frac{27}{2}$M+$\frac{81}{4}$＜$\frac{81}{16}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．