Question

19．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，某同学分析图形后得出以下结论：①DH⊥BC；②CE=$\frac{1}{2}BF$；③△AEB≌△CEB；④△BDF≌△CDA．上述结论一定正确的是（　　）

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得DH⊥BC，判断①正确，然后证明△BDF与△CDA全等，④正确，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以证明△ABE与△CBE全等，③正确；根据全等三角形对应边相等可得AE=CE，从而判断②正确．

解答 解：∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，H是BC边的中点，
∴BD=CD，DH⊥BC，①正确；
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠ACD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠CDA}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CDA（ASA），故④正确；
∴BF=AC，
∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE与△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（ASA），故③正确；
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BF=2CE，故②正确；

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键．