Question

3．观察下列各等式，并回答问题：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；  $\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；  $\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；  $\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$；…
（1）填空：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n是正整数）    
（2）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2004×2005}$=$\frac{2004}{2005}$．
（3）计算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．
（4）求$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+$\frac{1}{7×9}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意确定出拆项规律，写出第n个式子即可；
（2）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解；
（3）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解；
（4）根据拆项规律，先拆项再抵消写即可求解．

解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（n是正整数）    
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{2004×2005}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2004}$-$\frac{1}{2005}$
=1-$\frac{1}{2005}$
=$\frac{2004}{2005}$．
（3）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+$\frac{1}{4×5}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．
（4）$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+$\frac{1}{7×9}$+…+$\frac{1}{2013×2015}$
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2015}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2014}{2015}$
=$\frac{1007}{2015}$．
故答案为：（1）$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；    （2）$\frac{2004}{2005}$；（3）$\frac{n}{n+1}$．

点评 考查了有理数的混合运算，（4）的关键是将式子变形为$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2013}$-$\frac{1}{2015}$）进行计算．