Question

13．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，交y轴正半轴于C点，D为抛物线的顶点，点P在x轴上，且∠PCB=∠CBD，求点P的坐标．

Answer 1

分析 令y=0求得点A和点B的坐标，令x=0，求得点C的坐标，接下来求得点D的坐标，然后再求得DB的解析式，然后由CP∥DB可求得BP的解析式，然后可求得点P的坐标．

解答 与BD解：令y=0得：-x²+2x+3=0，解得：x₁=3，x₂=-1．
∴点B的坐标为（3，0），点A的坐标为（-1，0）．
∴对称轴方程为x=1．
将x=1代入得：y=4．
∴点D的坐标为（1，4）．
设BD的解析式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$
解得：k=-2，b=6．
令x=0得：y=3．
∴点C的坐标为（0，3）．
∵∠PCB=∠CBD，
∴PC∥BD或CP与BD的交点在BC的垂直平分线上．
①当PC∥BD时．
∴直线PC的解析式为y=-2x+3．
令y=0得：-2x+3=0．
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）．
②如图所示：
y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
故D（1 4），
因此BC=

32+32

=

18

=3

2

，
BD=

42+22

=2

5

，CD=

12+12

=

2

，
故CD²+BC²=BD²，
因此满足△BCD是直角三角形且∠BCD=90°，
过B点作BE垂直于BC，连接EC，且BE=

2

，
∵CO=OB=3，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
故∠EBx=45°，
则E（4，1），
设直线EC的解析式为：y=kx+b，
则

b=3 4k+b=1

，
解得：

k=-0.5 b=3

．
则EC直线解析式为：y=-0.5x+3，
令y=0得：-0.5x+3=0，
解得x=6．
所以点P的坐标为（6，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质，掌握相关性质是解题的关键．