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【题目】如图,互相垂直的两条射线OE与OF的端点O在三角板的内部,与三角板两条直角边的交点分别为点D、B.

(1)填空:若∠ABO=50°,则∠ADO=  

(2)若DC、BP分别是∠ADO、∠ABF的角平分线,如图1.求证:DC⊥BP;

(3)若DC、BP分别分别是∠ADE、∠ABF的角平分线,如图2.猜想DC与BP的位置关系,并说明理由.

【答案】(1)130°;(2)证明见解析,(3)DC与BP互相平行.理由见解析.

【解析】试题分析:(1)由四边形的内角和为360°即可得;

(2)如图1,延长DC交BP于G,由∠OBA+∠ODA=180°、∠OBA+∠ABF=180°可得∠ODA=∠ABF,再由DC、BP分别是∠ADO、∠ABF的角平分线,从而可得∠CDA=∠CBG,再由∠DCA=∠BCG,继而可得∠BGC=∠A=90°,即得DC⊥BP;

(3)DC与BP互相平行.如图2,作过点A作AH∥BP,则可得∠ABP=∠BAH,由∠OBA+∠ODA=180°,可得∠ABF+∠ADE=180°,再由DC、BP分别分别是∠ADE、∠ABF的角平分线,从而可得∠ADC+∠ABP=90°,进而可得∠DAH=∠ADC,从而可得CD∥AH,最后得CD∥BP.

试题解析:(1)如图1,∵OE⊥OF,∴∠EOF=90°,

在四边形OBAD中,∠A=∠BOD=90°,∠ABO=50°,

∴∠ADO=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°;

故答案为:130°;

(2)如图1,延长DC交BP于G,

∵∠OBA+∠ODA=180°,而∠OBA+∠ABF=180°,∴∠ODA=∠ABF,

∵DC、BP分别是∠ADO、∠ABF的角平分线,∴∠CDA=∠CBG,

而∠DCA=∠BCG,∴∠BGC=∠A=90°,∴DC⊥BP;

(3)DC与BP互相平行.

理由:如图2,作过点A作AH∥BP,则∠ABP=∠BAH,

∵∠OBA+∠ODA=180°,∴∠ABF+∠ADE=180°,

∵DC、BP分别分别是∠ADE、∠ABF的角平分线,∴∠ADC+∠ABP=90°,

∴∠ADC+∠BAH=90°,

而∠DAH+∠BAH=90°,∴∠DAH=∠ADC,∴CD∥AH,∴CD∥BP.

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