Question

【题目】平面直角坐标系中，，，等腰的顶点在第二象限，交轴于点．

（1）如图1，求证；

（2）如图2，点在的延长线上，若点坐标为，以为直角边在左侧作等腰，连接交于．

①求点的坐标；

②求证．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析

【解析】

（1）易求OA=2，OB=6，AB=8，由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠ABC=45°，AC=AB=，易证△AOD是等腰直角三角形，则AD=OA=，即可得出结论；

（2）①作EM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，则∠EMA=∠ANF=90°，由点E坐标为（3，3），得出OM=EM=3，由△AEF是等腰直角三角形，得出AF=AE，∠EAF=90°，证明∠FAN=∠AEM，由AAS证得△FAN≌△AEM，得出FN=AM=1，AN=EM=3，则ON=AN-OA=1，即可得出结果；
②过C作CH⊥AB于H，易求AH=CH=AC=4，得C（-2，4），求出CF的解析式为：y=-3x-2，BE的解析式为：y=x+2，得出G（，），由两点间的距离公式求出GF2，EF2，EG2，根据GF2+EG2=EF2即可得出结论．

解：（1）证明：，，

，，

，

是等腰直角三角形，

，，

，

是等腰直角三角形，

，

，

；

（2）①作轴于，轴于，如图2所示，则，

点坐标为，

，

是等腰直角三角形，

，，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

点的坐标为；

②过作于，如图3所示：

是等腰直角三角形，

是等腰直角三角形，

，

，

，

设直线的解析式为：，

则，

解得：，

的解析式为：，

设的解析式为：，

则，

解得：，

的解析式为：，

设，则，

解得：，

，

，，，

，

，

．