Question

9．如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=2，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=1，连接DA，点P是射线DA上的动点．
（1）求证DA是⊙O的切线；
（2）DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由．
（3）P运动的过程中，（PB+PC）的值能否达到最小，若能，求出这个最小值，若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABO是等边三角形，进而得出∠ADC=30°，即可得出∠DAO=90°即可得出结论；
（2）判断出∠BPC最大时的点P的位置；
（3）利用对称性确定出PB+PC=BC'利用勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：如图，连接AO，
∵∠=30°，
∴∠AOB=2∠C=60°
∴△ABO是等边三角形，AB=BD=1，
∴∠ADC=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠ABO=30°，
∵∠AOC=60°，
∴∠DAO=90°，
∴DA是⊙O的切线；


（2）解：如图1，当点P运动到A处时，
即DP=DA=$\sqrt{3}$时，∠BPC的度数达到最大，为90^°．
理由如下：若点P不在A处时，不妨设点P在DA的延长线上的时，
连接BP，与⊙O交于一点，记为点E，
连接CE，
则∠BPC＜∠BEC=∠BAC=90°．


（3）解：如图2，作点C关于射线DA的对称点C′，
则BP+PC=BP+PC′，
当点C′，P，B三点共线时，（BP+PC′）的值达到最小，最小值为BC′．
过点C′作DC的垂线，垂足记为点H，连接DC′，
在Rt△DCP中，∠PDC=30°，
∴△DCC′为等边三角形，
故H为DC的中点，
∴BH=DH-DB=$\frac{1}{2}$CD-DB=$\frac{3}{2}$-1=$\frac{1}{2}$，C'H=$\sqrt{3}$DH=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
在Rt△BC'H中，根据勾股定理得，BC'=$\sqrt{B{H}^{2}+C'{H}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴（BP+PC）的最小值为$\sqrt{7}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的判定，极值的确定方法，对称的性质，勾股定理，解（1）的关键是求出∠ADC=30°，解（2）的关键是判断出∠BPC最大时的点P的位置，解（3）的关键是判断出PB+PC的最小值=BC'是一道中等难度的中考常考题．