Question

14．如图，抛物线y=ax²+bx经过A（2，0），B（3，-3）两点，抛物线的顶点为C，动点P在直线OB上方的抛物线上，过点P作直线PM∥y轴，交x轴于M，交OB于N，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）当△PON为等腰三角形时，点N的坐标为（1，-1），（2，-2），（3-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-3）；当△PMO∽△COB时，点P的坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$），（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{9}$）；（直接写出结果）
（3）直线PN能否将四边形ABOC分为面积比为1：2的两部分？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线解析式，即可得出结论；
（2）①设出点P的坐标表示出PN²，OP²，ON²，分三种情况用等腰三角形的腰建立方程求解即可；
②设出点P的坐标，表示出PM，OM，再求出OB，OC，最后利用相似三角形得出的比例式即可求出点P的坐标；
（3）先求出四边形ABOC的面积，再分三种情况讨论计算．

解答 解：（1）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b=0}\\{9a+3b=-3}\end{array}\right.$，解这个方程组得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x
当x=-$\frac{b}{2a}$=1时，y=-x²+2x=1，
∴C（1，1）

（2）①∵B（3，-3），
∴直线OB的解析式为y=-x，
∵P的横坐标为m（0＜m＜3），
∴P（m，-m²+2m），
∴N（m，-m），
∴PN²=（-m²+3m）²，OP²=m²+（-m²+2m）²，ON²=2m²，
当△PON为等腰三角形时，
①当OP=ON时，m²+（-m²+2m）²=2m²，
∴m=0（舍）或m=1或m=3（舍），
∴N（1，-1）
②当OP=PN时，（-m²+3m）²=m²+（-m²+2m）²，
∴m=0（舍）或m=2，
∴N（2，-2），
③当ON=PN时，（-m²+3m）²=2m²，
∴m=0（舍）或m=3+$\sqrt{2}$（舍）或m=3-$\sqrt{2}$，
∴N（3-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-3），
故答案为：（1，-1），（2，-2），（3-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-3）

②∵P的横坐标为m（0＜m＜3），
∴P（m，-m²+2m），
∴M（m，0），
∴PM=|-m²+2m|，OM=m，
∵B（3，-3），
∴OB=3，
由（1）知，C（1，1），
∴OC=1，
∵△PMO∽△COB，
∴$\frac{PM}{OC}=\frac{OM}{OB}$，
∴$\frac{|-{m}^{2}+2m|}{1}=\frac{m}{3}$，
∴m=$\frac{5}{3}$或m=$\frac{7}{3}$，
∴P（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{9}$），
故答案为：（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$），（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{9}$），

（3）如图1，作BD⊥x轴于D，作CE⊥x轴于E，交OB于F
则BD=OD=3，CE=OE=1，OC=AC
∴△ODB，△OCE，△AOC均为等腰直角三角形，
∴S_{四边形ABOC}=S_△OAC+S_△OAB=$\frac{1}{2}OA•CE$+$\frac{1}{2}$OA•BD=4
∴∠AOC=∠AOB=∠OAC=45°
∵PM∥y轴，
∴OM⊥PN，∠MNO=∠AOB=45°，
∴OM=MN=m，OE=EF=1
①∵S△OCF=$\frac{1}{2}$CF•OE=1$＜\frac{1}{3}$×4
∴当0＜m≤1时，不能满足条件，
②当1＜m≤2时，如图2，设PN交AC于Q，则MQ=MA=2-m，
S_{四边形OCQN}=S_△OAC+S_△OMN-S_△AMQ=$\frac{1}{2}$OA•CE+$\frac{1}{2}$OM•MN-$\frac{1}{2}$AM•MQ=2m-1，
由S_{四边形OCQM}=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABOC}，得2m-1=$\frac{1}{3}$×4，解得m=$\frac{7}{6}$，
而1＜$\frac{7}{6}$＜2，符合题意，
由S_{四边形OCQN}=$\frac{2}{3}$S_{四边形ABOC}，得2m-1=$\frac{8}{3}$，解得m=$\frac{11}{6}$
而1＜$\frac{11}{6}$＜2，符合题意，
③当2＜m＜3时，如图2，作AG⊥x轴，交OB于G，
则AG=OA=2，AD=1
∴S_△ABG=$\frac{1}{2}$AG•AD=1＜$\frac{1}{3}$×4
∴当2＜m＜3时，不能满足条件
∴m=$\frac{7}{6}$或m=$\frac{11}{6}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，几何图形面积的计算方法，解（1）的关键是用待定系数法求出抛物线解析式；解（2）的关键是分类建立求解，解（3）的关键是求出四边形ABOC的面积．