Question

4．如图，直线y=kx与双曲线y=$\frac{m-5}{x}$在第一象限交于点A，在第三象限交于点B，N是点A右侧双曲线上的动点，BN交x轴于M点．
（1）直接写出k和m的取值范围；
（2）若A（3，4），AN⊥AB，求△ABN的面积；
（3）求证：∠ANB=2∠OMB．

Answer 1

分析 （1）直接利用反比例函数的性质即可建立不等式即可；
（2）先确定出直线AB的解析式，进而得出AN的解析式，联立反比例函数的解析式即可得出点N的坐标，最后用三角形的面积即可得出结论；
（3）先设出点A，N坐标，进而表示出AD，ND，NF，BF，再利用三角函数判断出∠ANF=∠BNF即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=kx与双曲线y=$\frac{m-5}{x}$在第一象限交于点A，在第三象限交于点B，
∴k＞0，m-5＞0，
∴m＞5；
（2）如图，过点N作DE∥x轴交AB于E，
将A（3，4），代入直线y=kx中，得，3k=4，
∴k=$\frac{4}{3}$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
∵A，B是正比例函数和反比例函数的交点，
∴B（-3，-4），
∴AB=10，
∵AN⊥AB，A（3，4），
∴直线AN的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{4}$②，
将A（3，4）代入双曲线y=$\frac{m-5}{x}$中，m-5=3×4，
∴m=17，
∴双曲线的解析式为y=$\frac{12}{x}$①，
联立①②得，x=3（点A的横坐标）或x=$\frac{16}{3}$＞3，
∴N（$\frac{16}{3}$，$\frac{9}{4}$），
∵A（3，4），
设DE交AB于E，
∴E（$\frac{27}{16}$，$\frac{9}{4}$），
∴EN=$\frac{16}{3}$-$\frac{27}{16}$=$\frac{175}{48}$，
∴S_△ABN=S_△AEN+S_△BEN=$\frac{1}{2}$×$\frac{175}{48}$×8=$\frac{175}{12}$；

（3）如图1，过点N作NE∥x轴于E，过点A作AC⊥x轴于C交EN于D，过点B作BF⊥NE于F，
∠OMB=∠BNF
设点A（a，ak），N（n，$\frac{m-5}{n}$），
∴B（-a，-ak），
∵点A也在双曲线上，
∴a×ak=m-5，
即：a²k=m-5，
∴ak=$\frac{m-5}{a}$
∴AD=ak-$\frac{m-5}{n}$，DN=n-a，
在Rt△ADN中，tan∠AND=$\frac{AD}{DN}$=$\frac{ak-\frac{m-5}{n}}{n-a}$=$\frac{ank-（m-5）}{n（n-a）}$=$\frac{\frac{n（m-5）}{a}-（m-5）}{n（n-a）}$=$\frac{m-5}{an}$，
在Rt△MFN中，BF=$\frac{m-5}{n}$+ak，NF=n+a
∴tan∠FNB=$\frac{MF}{NF}$=$\frac{\frac{m-5}{n}+ak}{n+a}$=$\frac{（m-5）+ank}{n（n+a）}$=$\frac{（m-5）+\frac{n（m-5）}{a}}{n（n+a）}$=$\frac{m-5}{an}$，
∴∠FNB=∠AND，
∵∠OMB=∠FNM，
∴∠ANB=2∠DMB．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数和一次函数的性质，待定系数法，三角形的面积公式，锐角三角函数的意义，解（2）的关键是确定出点N的坐标，解（3）的关键是判断出∠FNB=∠AND．