Question

3．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，2），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度后，使点B落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）过D作DE垂直于x轴，由A与B的坐标求出OA与OB的长，根据四边形ABCD为正方形，得到AB=AD，且∠BAD为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形OAB与三角形EDA全等，由全等三角形的对应边相等得到AE=OB=2，DE=OA=1，求出OE的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值即可确定出解析式；
（2）表示出正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度后B的坐标，代入反比例解析式求出m的值即可．

解答 解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，
∵A（1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAE=90°，
∵在Rt△ADE中，∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠BAO=∠ADE，
在△OAB和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠ADE}\\{∠AOB=∠DEA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△EDA（AAS），
∴AE=OB=2，DE=OA=1，
∴OE=3，
∴点D坐标为（3，1），
∵点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴把D坐标代入反比例解析式得：k=3，
则反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$；
（2）将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度后，点B坐标为（m，2），
把B（m，2）代入y=$\frac{3}{x}$，得：m=$\frac{3}{2}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及正方形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．