Question

如图：抛物线y=ax²-4ax+m与x 轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为G，连接BG、CG、求△BCG的面积．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=ax²-4ax+m的对称轴公式x=-

b

2a

，即可求得其对称轴，又由点A、B关于对称轴对称，即可求得点B的坐标；
（2）由点A（1，0），B（3，0），求得AB的值，又由CP⊥对称轴，可得CP∥AB，易证得四边形ABPC是平行四边形，然后设点C（0，x）（x＜0），证得△BPD∽△BCP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，又由二次函数过点A与C，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（3）首先由解析式，即可求得抛物线顶点G坐标，然后设CG的解析式是：y=kx+b，利用待定系数法即可求得CG的解析式，则可求得H的坐标，又由S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC，即可求得△BCG的面积．

解答：解：（1）对称轴是x=-

b

2a

=-

-4a

2a

=2，…（2分）
∵点A（1，0）且点A、B关于x=2对称，
∴点B（3，0）；…（4分）

（2）点A（1，0），B（3，0），
∴AB=2，
∵CP⊥对称轴于P，
∴CP∥AB，
∵对称轴是x=2，
∴AB∥CP且AB=CP，
∴四边形ABPC是平行四边形，…（5分）
设点C（0，x）（x＜0），
在Rt△AOC中，AC=

x2+1

，
∴BP=

x2+1

，
在Rt△BOC中，BC=

x2+9

，
∵

BD

BC

=

BE

BO

=

1

3

，
∴BD=

1

3

x2+9

，
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP，
∴△BPD∽△BCP，…（7分）
∴BP²=BD•BC，
即(

x2+1

)2=

1

3

x2+9

•

x2+9

，
∴x2+1=

1

3

(x2+9)，
∴x₁=

3

，x₂=-

3

，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴点C（0，-

3

），…（8分）
∴y=ax²-4ax-

3

，
∵过点（1，0），
∴a-4a-

3

=0，
解得：a=-

3

3

．
∴解析式是：y=-

3

3

x²+

4 3

3

x-

3

；…（9分）

（3）当x=2时，y=

3

3

，
顶点坐标G是（2，

3

3

），…（10分）
设CG的解析式是：y=kx+b，
∵过点（0，-

3

）（2，

3

3

），
∴

b=- 3 k= 2 3 3

，
∴y=

2 3

3

x-

3

，…（11分）
设CG与x轴的交点为H，
令y=0，则

2 3

3

x-

3

=0，
得x=

3

2

，
即H（

3

2

，0），…（11分）
∴BH=3-

3

2

=

3

2

，
∴S_△BCG=S_△BHG+S_△BHC=

1

2

×

3

2

×

3

3

+

1

2

×

3

2

×|-

3

|=

3

4

+

3 3

4

=

3

…（13分）

点评：此题考查了二次函数对称轴的求解方法，二次函数的对称性，待定系数法求函数的解析式，三角形面积的求解方法以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．