Question

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得△BOD∽△BAC？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（-3，-12），
∴由 ，
解得 ，
∴此二次函数的表达式为y=-x²+2x+3；

（2）假设存在直线l：y=kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．
在y=-x²+2x+3中，令y=0，则由-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3
∴A（-1，0），B（3，0）
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E．
∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|==3 ．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，则只需 ，①或 ②成立．
若是①，则有|BD|===．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（ ）²
解得|BE|=|DE|=（负值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-=
∴点D的坐标为（ ，）
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=3，
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=3x，
或求出直线AC的函数表达式为y=3x+3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y=3x，
此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表达式为y=-x+3．联立y=3x，y=-x+3求得点D的坐标为（ ，），
若是②，则有|BD|===2 ，
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|，
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|²+|DE|²=2|BE|²=|BD|²=（2 ）²
解得|BE|=|DE|=2（负值舍去）
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴点D的坐标为（1，2）．
将点D的坐标代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴满足条件的直线l的函数表达式为y=2x．
∴存在直线l：y=3x或y=2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合），
使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为（ ，）或（1，2）．
分析：（1）已知了抛物线的顶点横坐标为1，即x=-=1，将已知的两点坐标代入抛物线中，联立三式即可求出抛物线的解析式．
（2）本题要分两种情况讨论：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解题思路都是通过相似三角形得出的关于BD、BC、BO、BA的比例关系式求出BD的长，然后根据∠OBC=45°的特殊条件用BD的长求出D点的坐标．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定、函数图象交点等知识点．综合性强．