Question

18．已知：如图，在等边三角形ABC中，过点A、B、C分别作AB、BC、AC的垂线，两两相交于点D、E、F．求证：△DEF是等边三角形．

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到AB=BC=AC，∠CAB=∠ACB=∠ABC=60°，由垂直的定义得到∠EAB=∠CBF=∠ACD=∠DAB=∠EBC=∠ACF=90°，于是得到∠DAC=∠ABE=∠BCF=30°，推出∠D=∠E=∠F=60°，于是得到结论．

解答 解：在等边三角形ABC中，
∵AB=BC=AC，∠CAB=∠ACB=∠ABC=60°，
∵过点A、B、C分别作AB、BC、AC的垂线，
∴∠EAB=∠CBF=∠ACD=∠DAB=∠EBC=∠ACF=90°，
∴∠DAC=∠ABE=∠BCF=30°，
∴∠D=∠E=∠F=60°，
∴△DEF是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形的内角和，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．