Question

如图，已知，∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°，
（1）求证：MD∥NE．
（2）若∠ABD=70°，∠ACE=36°，BP和CP分别平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度数．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）过A作AF∥MD，根据平行线的性质得∠MBA+∠BAF=180°，而∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°，则∠FAC+∠NCA=180°，于是根据平行线的判定得到AF∥NE，所以根据平行线于同一条直线的两直线平行得到MD∥NE；
（2）过P作PQ∥MD，先利用角平分线的定义得到∠DBP=

1

2

∠DBA=35°，∠ECP=

1

2

∠ACE=18°，再根据平行线的性质由PQ∥MD得∠DBP=∠BPQ=35°，由于MD∥NE，PQ∥MD，则PQ∥NE，所以∠QPC=∠PCE=18°，然后利用∠BPC=∠BPQ+∠QPC进行计算即可．

解答：解：（1）过A作AF∥MD，如图，
∴∠MBA+∠BAF=180°，
又∵∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°，
∴∠FAC+∠NCA=180°，
∴AF∥NE，
∴MD∥NE；
（2）过P作PQ∥MD，
∵BP和CP分别平分∠ABD，∠ACE，
∴∠DBP=

1

2

∠DBA=

1

2

×70°=35°，∠ECP=

1

2

∠ACE=

1

2

×36°=18°，
∵PQ∥MD，
∴∠DBP=∠BPQ=35°，
∵MD∥NE，PQ∥MD，
∴PQ∥NE，
∴∠QPC=∠PCE=18°，
∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=53°．

点评：本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．