Question

19．如图，AB∥CD，P为定点，E，F分别是AB，CD上的动点．
（1）如图1，求证：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如图2，若M为CD上一点，∠FMN=∠BEP，且MN交PF于点N，请判断∠EPF与∠PNM的关系，并证明你的结论；
（3）如图3，移动E、F使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，则∠AEG与∠PFD有什么数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，过点P作PG∥AB，根据平行线的性质进行证明；
（2）利用（1）中的结果和三角形外角的性质可以推知∠EPF=∠PNM；
（3）利用（1）中的结论得到∠1+∠2=90°，结合已知条件∠PEG=∠BEP，即∠1=∠3得到∠4=180°-2∠1，易求∠AEG与∠PFD度数的数量关系．

解答 解：（1）如图1，过点P作PG∥AB，则∠1=∠BEP．
又∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠2=∠PFD，
∴∠EPF=∠1+∠2=∠BEP+∠PFD，
即∠EPF=∠BEP+∠PFD；

（2）∠EPF=∠PNM．理由如下：
由（1）知，∠EPF=∠BEP+∠PFD．
如图2，∵∠FMN=∠BEP，
∴∠EPF=∠FMN+∠PFD．
又∵∠PNM=∠FMN+∠PFD．
∴∠EPF=∠PNM；

（3）∠AEG=2∠PFD．理由如下：
如图3，∵由（1）知∠1+∠2=90°．
∴∠1=90°-∠2．
又∵∠1=∠3，
∴∠4=180°-2∠1=180°-2（90°-∠2）=2∠2，
即∠AEG=2∠PFD．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形外角性质以及平角定义的运用，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．