Question

9．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．
旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）
若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．

Answer 1

分析 图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；
图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=$\sqrt{3}$OA，OD=$\sqrt{3}$OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=$\sqrt{3}$OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=$\sqrt{3}$AC′，于是得到结论．

解答 解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′与△BOD′中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOC′=∠BOD′}\\{OC′=OD′}\end{array}\right.$，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；

图3结论：BD′=$\sqrt{3}$AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=$\sqrt{3}$OA，OD=$\sqrt{3}$OC，
∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′=$\sqrt{3}$OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OD′}{OC′}$=$\sqrt{3}$，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴$\frac{BD′}{AC′}$=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{3}$，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′=$\sqrt{3}$AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．

点评 本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．