Question

如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xOy中，F是AB边上的动点（不与点A，B重合），过点F的反比例函数（，）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连接EF，OF．

（1）若，求反比例函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与轴的位置关系，并说明理由；

（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（）；（2）相离；（3）存在，1：4．

【解析】

试题分析：（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式；

（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断；

（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．

试题解析：（1）设F（x，y），（，），则OC=x，CF=y，∴，∴，∴，∴反比例函数解析式为（）；

（2）该圆与y轴相离，理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，设OH=m，则tan∠AOB=，∴EH=，OE=2m，∴E坐标为（m，），∵E在反比例图象上，∴，∴，（舍去），∴OE=，EA=，EG=，∵，∴EA＜EG，∴以E为圆心，EA长为半径的圆与y轴相离；

（3）存在．假设存在点F，使AE⊥FE，过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．∵△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，∴BC=FBcos∠FBC=，FC=FBsin∠FBC=，∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=，∵AE⊥FE，∴AE=AFcosA=，∴OE=OA﹣AE=，∴OH=OEcos∠AOB=，EH=OEsin∠AOB=，∴E（，），F（，），∵E、F都在双曲线的图象上，∴（）（）=（），解得：，，当BF=4时，AF=0，不存在，舍去；当BF=时，AF=，BF：AF=1：4．

考点：反比例函数综合题．