证明:(1)∵MN∥BC,∴∠FEC=∠BCE.
∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE,∴∠FEC=∠ACE,
∴OE=OC.同理可证OF=OC,∴OE=FO.
(2)当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.
∵CE平分∠ACB,CF平分∠BCA的外角,
∴∠ECF=∠ECA+∠FCA=
×180°=90°.
由(1)得OE=OF,又∵O为AC的中点,∴AO=CO.
∴四边形AECF是平行四边形.又∵∠ECF=90°,
∴四边形AECF是矩形.
(3)当△ABC是直角三角形,即∠ACB=90°时,在(2)的条件下,四边形AECF是正方形
(1)由平行线的性质和角平分线的性质,推出∠ECB=∠CEO,∠GCF=∠CFO,∠ECB=∠ECO,∠GCF=∠OCF,通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO,∠CFO=∠OCF,便可确定OC=OE,OC=OF,可得OE=OF;
(2)当O点运动到AC的中点时,四边形AECF为矩形,根据矩形的判定定理(对角线相等且互相平分的四边形为矩形),结合(1)所推出的结论,即可推出OA=OC=OE=OF,求出AC=EF后,即可确定四边形AECF为矩形;
(3)当△ABC是直角三角形时,四边形AECF是正方形,根据(2)所推出的结论,由AC⊥BC,MN∥BC,确定AC⊥EF,即可推出结论.