Question

16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD=120°，AC=8cm，则菱形ABCD面积是32$\sqrt{3}$ cm²．

Answer 1

分析 由菱形的性质得出AB=BC，OA=$\frac{1}{2}$AC=4cm，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，再证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC=8，根据勾股定理求出OB，得出BD，由菱形的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD，即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=$\frac{1}{2}$AC=4cm，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=8cm，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$（cm），
∴BD=2OB=8$\sqrt{3}$cm，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×8×8$\sqrt{3}$=32$\sqrt{3}$；
故答案为：32$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出OB是解决问题的关键．