Question

4．已知抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$．
（1）①无论m取何值，抛物线经过定点P（-1，0）；
②随着m的取值变化，顶点M（x，y）随之变化，y是x的函数，则其函数C₂关系式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{1}{2}$；
（2）如图1，若该抛物线C₁与x轴仅有一个公共点，请在图1中画出顶点M满足的函数C₂的大致图象，平行于y轴的直线l分别交C₁、C₂于点A、B，若△PAB为等腰直角三角形，判断直线l满足的条件，并说明理由；
（3）如图2，抛物线C₁的顶点M在第二象限，交x轴于另一点C，抛物线上点M与点P之间一点D的横坐标为-2，连接PD、CD、CM、DM，若S_△PCD=S_△MCD，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）①令x=-1时，可消去解析式中的m，可求得y值为0，可知其过定点，求得P点坐标；②可求得抛物线的顶点坐标，则可用m分别表示出x、y，消去m可求得y与x的函数关系式；
（2）由条件可先求得P点坐标，再结合（1）中所求C₂的解析式，可画出图形，由条件可知x轴垂直平分AB，可得到A、B坐标所满足的方程，可求得直线l的方程；
（3）作△PCD和△MCD的两条高线DH和MN，根据条件求点C、P、M、D的坐标，由若S_△PCD=S_△MCD，列等式可以求出m的值，并根据“抛物线C₁的顶点M在第二象限，交x轴于另一点C，抛物线上点M与点P之间一点D”进行取舍，代入解析式中即可．

解答 解：（1）①当x=-1时，y=-$\frac{1}{2}$-m+m+$\frac{1}{2}$=0，
∴无论m取何值，抛物线经过定点P（-1，0）；
y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-m）²+$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{1}{2}$，
顶点坐标为（m，$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{1}{2}$），
∵顶点M（x，y），y是x的函数，
则其函数C₂关系式为：y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x+1）²；
故答案为：①（-1，0）；②y=$\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{1}{2}$；
（2）∵该抛物线C₁与x轴仅有一个公共点，
∴△=${m}^{2}-4×（-\frac{1}{2}）（m+\frac{1}{2}）$=0，
m²+2m+1=0，
m₁=m₂=-1，
∴抛物线C₁关系式为：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$-x-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x+1）²，
如图1，抛物线C₁、C₂关于x轴对称，
∵△PAB是等腰直角三角形，
∴PA=PB，PA⊥PB，
∵x轴⊥AB，
∴x轴是AB的垂直平分线，
∴BD=PD，
当直线l在顶点P的右侧时，$\frac{1}{2}（x+1）^{2}$=x+1，
解得x=1，x=-1（不能构成三角形，舍去），
当直线l在顶点P的左侧时，有$\frac{1}{2}（x+1）^{2}$=-x-1，
解得x=-3、x=-1（不能构成三角形，舍去），
则直线l为：x=1或x=-3；
（3）如图2，
当x=-2时，y=-$\frac{1}{2}$×4-2m+m+$\frac{1}{2}$=-m-$\frac{3}{2}$，
∴D（-2，-m-$\frac{3}{2}$），
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+mx+m+$\frac{1}{2}$=0，
x²-2mx-2m-1=0，
解得：x₁=1，x₂=2m+1，
∴P（-1，0），C（2m+1，0），
由（1）得：顶点M[m，$\frac{1}{2}$（m+1）²]，
过D作DH⊥PC于H，过M作MN⊥PC于N，交CD于T，
则直线CD的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-m-$\frac{1}{2}$，
∴T（m，-$\frac{1}{2}m$-$\frac{1}{2}$），
∵S_△PCD=S_△MCD，
则$\frac{1}{2}$PC•DH=$\frac{1}{2}$MT•CH，
$\frac{1}{2}$（-1-2m-1）（-m-$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}（m+1）^{2}$-$（-\frac{1}{2}m-\frac{1}{2}）$]（-2-2m-1），
（m+1）（2m+3）=-$\frac{1}{2}$（m+1）（m+2）（2m+3），
（m+1）（2m+3）（m+4）=0，
m₁=-1，m₂=-$\frac{3}{2}$，m₃=-4，
∵抛物线C₁的顶点M在第二象限，点D又在点M与点P之间，
∴m₁=-1，m₂=-$\frac{3}{2}$，不符合题意，舍去，
∴m=-4，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²-4x-4+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$x²-4x-$\frac{7}{2}$，
则二次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²-4x-$\frac{7}{2}$．

点评 本题是二次函数的综合题，比较复杂，考查了二次函数利用待定系数法求一次函数的解析式、等腰直角三角形的性质，利用配方法求顶点坐标；同时多次运用函数的解析式表示点的坐标，利用方程思想和分类讨论的思想解决问题．