Question

12．如图，正方形ABCD与正方形CEFG（边长不等），B、C、F三点共线，连接BE交CD于M，连接DG交BE、CE、CF分别于N、P、Q，以下四个结论：①BE=DG；②BM=DQ；③CM=CP；④∠BNQ=90°恒成立的有①②④（把你认为正确的序号都填上）．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，然后求出∠BCE=∠DCG，再利用“边角边”证明△BCE和△DCG全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DG，判定①正确；全等三角形对应角相等可得∠CBE=∠CDG，然后证明△BCM和△DCQ全等，根据全等三角形对应边相等可得BM=DQ，CM=CQ，判定②正确；根据∠CGP+∠CPG=90°，∠CDQ+∠CQD=90°，然后求出∠CQD≠CPG，从而得到CQ≠CP，所以，CM≠CP，判定③错误；根据∠CBE+∠BMC=90°推出∠CDG+∠DMN=90°，然后求出∠DNM=90°，即可得到∠BNQ=90°．

解答 解：在正方形ABCD与正方形CEFG中，
BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，
即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCE=∠DCG}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG，∠CBE=∠CDG，故①正确；
在△BCM和△DCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠CDG}\\{BC=DC}\\{∠BCM=∠DCQ=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△DCQ（ASA），
∴BM=DQ，CM=CQ，故②正确；
在Rt△CPG中，∠CGP+∠CPG=90°，
在Rt△CDQ中，∠CDQ+∠CQD=90°，
∵正方形ABCD与正方形CEFG的边长不等，
∴∠CDQ≠∠CGP，
∴∠CQD≠CPG，
∴CQ≠CP，
∴CM≠CP，故③错误；
∵∠CBE+∠BMC=90°，∠CBE=∠CDG，∠BMC=∠DMN（对顶角相等），
∴∠CDG+∠DMN=90°，
∴∠DNM=90°，
∴∠BNQ=180°-∠DNM=180°-90°=90°，故④正确，
综上所述，恒成立的有①②④共3个．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，熟练掌握正方形的性质，准确识图找出全等三角形并求出全等的条件是解题的关键，也是本题的难点．