Question

3．已知：二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（-1，0）和B点，AB=4，OB＞OA，与y轴交于点C，顶点的横坐标为1．
（1）求B点的坐标；
（2）若点O到BC的距离为$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，求此二次函数的解析式；
（3）若P是直线x=2上的点，且△PAB的外心M的纵坐标为-1，求P点的坐标，试判断点P是否在（2）中所求的二次函数图象上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B点坐标；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据三角形的面积，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据三角形的外心在三角形每条边的垂直平分线上，可得M点坐标，根据三角形的外心到三角形的顶点的距离相等，可得关于b的方程，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得答案．

解答 解：（1）由顶点的横坐标为1，得
抛物线的对称轴是x=1．
二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（-1，0）和B点，得
A到对称轴的距离是1-（-1）=2，B到对称轴的距离是2，1+2=3，
B点的坐标是（3，0）．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），点O到BC的距离为h，
当x=0时，y=-3a，即C（0，-3a）．
由勾股定理，得
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{1+{a}^{2}}$．
由三角形的面积，得
$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$BC•h，即$\frac{1}{2}$×3×（-3a）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×3$\sqrt{1+{a}^{2}}$，
化简，得2a²=1+a²，
解得a=1，a=-1（不符合题意，舍），
抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3）；
（3）P是直线x=2上的点，设P（2，b）．
由△PAB的外心M，得
点M在AB的垂直平分线上，即M在对称轴x=1上，得
点M的横坐标为1．
又点M的纵坐标为-1，
点M的坐标为（1，-1）．
由点M是△PAB的外心，得
MP=MB，即（2-1）²+（b+1）²=（3-1）²+1²，
化简，得b²+2b-3=0．
解得b₁=1，b₂=-3，
点P的坐标为（2，1）或（2，3）．
当点P的坐标为（2，1）时，y=（2+1）（2-3）=3，点P不在抛物线的图象上；
当点P（2，3）时，y=（2+1）（2-3）=3，点P在抛物线的图象上．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称是求B点的关键；利用待定系数法得出C点坐标，再利用三角形的面积的出关于a的方程是解题关键；利用三角形外心的性质得出关于b的方程是解题关键，又利用点的坐标满足函数解析式时点在函数的图象上．