Question

15．如图，在△ABC中，BC=12，AB=8$\sqrt{2}$，AC=4$\sqrt{5}$，D是AB边上的动点，DE∥BC交AC边于点E，分别过点D，E作BC边的垂线，垂足分别为，G，设AD=x．
（1）用含x的代数式表示正方形DEFG的面积；
（2）若一个矩形的一边是另一边的2倍，则称这个矩形为方形．矩形DEGF能是方形吗？若能，求其面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DE}{12}=\frac{x}{8\sqrt{2}}$，即可求得结论；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据勾股定理列方程求得BH=8，AH=8，根据前述三角形的性质得到$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AH}$，求得DF=$\frac{16-\sqrt{2}x}{2}$，当DE=2DF时，求得DE=$\frac{64}{7}$，DF=$\frac{32}{7}$，于是得到S_{正方形DFGE}=$\frac{2048}{49}$，当DF=2DE时，即$\frac{16-\sqrt{2}x}{7}$=2×$\frac{3\sqrt{2}x}{4}$，求得DE=$\frac{24}{23}$，DF=$\frac{48}{23}$，于是得到S_{正方形DFGE}=$\frac{1052}{529}$．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DE}{12}=\frac{x}{8\sqrt{2}}$，
解得：DE=$\frac{3\sqrt{2}x}{4}$，
∴正方形DEFG的面积=DE²=$\frac{3}{8}$x²；

（2）过A作AH⊥BC于H，
∴AB²-BH²=AC²-CH²，
即（8$\sqrt{2}$）²-BH²=（4$\sqrt{5}$）²-（12-BH）²，
∴BH=8，
∴AH=8，
∵DF∥AH，
∴△BDF∽△ABH，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AH}$，
∴$\frac{8\sqrt{2}-x}{8\sqrt{2}}$=$\frac{DF}{8}$，
∴DF=$\frac{16-\sqrt{2}x}{2}$，
当DE=2DF时，
即$\frac{3\sqrt{2}x}{4}$=2×$\frac{16-\sqrt{2}x}{2}$，
∴x=$\frac{32\sqrt{2}}{7}$，
∴DE=$\frac{64}{7}$，DF=$\frac{32}{7}$，
∴S_{正方形DFGE}=$\frac{2048}{49}$，
当DF=2DE时，即$\frac{16-\sqrt{2}x}{7}$=2×$\frac{3\sqrt{2}x}{4}$，
∴x=$\frac{16\sqrt{2}}{23}$，
∴DE=$\frac{24}{23}$，DF=$\frac{48}{23}$，
∴S_{正方形DFGE}=$\frac{1052}{529}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及面积的计算；本题难度较大，解题的关键是画出图形，注意准确作出辅助线．