Question

如图，正方形ABCD中，E为BC边中点．
（1）如图1，F为BE中点，求证：∠ADF=2∠CDE；
（2）如图2，将△DCE沿DE翻折得到△DGE，EG的延长线交AB于M，DG的延长线交AB于N，求：求

AN

CN

的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）取AB中点H，连接DH，FH，根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，AH=CE=

1

2

AB，设BF=a，则AB=AD=BC=4a，CF=3a，AH=BH=2a，求出△DFH是直角三角形，根据

AD

AH

=

4a

2a

=

DH

FH

求出△ADH∽△HDF，推出∠ADH=∠FDH，求出△HAD≌△ECD，∠CDE=∠ADH=∠FDH，求出∠ADF=2∠ADH=2∠CDE；
（2）延长EG交AB于M，交DA于H，连接DM，根据翻折得出CE=EG=2a，DG=DC=AD=4a，∠DEC=∠DEG，∠DGE=∠DCE=90°，在Rt△DGH中，DH²=GH²+DG²，求出GH=3a，证Rt△ADM≌Rt△DGM，推出AM=MG，证△AMH≌△GMN，推出MH=MN，求出AN=GH=3a，BN=AB-AN=a，根据勾股定理求出CN，即可得出答案．

解答：（1）证明：如图1，取AB中点H，连接DH，FH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，AH=CE=

1

2

AB，
∵F是BE的中点，
∴BF=EF=

1

2

CE=

1

4

BC，
设BF=a，则AB=AD=BC=4a，
∴CF=3a，AH=BH=2a，
∴DH²=AH²+AD²=20a²，FH²=BH²+BF²=5a²，DF²=CF²+DC²=25a²，
∴DF²=DH²+FH²，
∴△DFH是直角三角形，
∵

AD

AH

=

4a

2a

=2=

20a2

5a2

=

DH

FH

，
∴△ADH∽△HDF，
∴∠ADH=∠FDH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠C=90°，
在△HAD和△ECD中

AD=DC ∠A=∠C=90° AH=CE

∴△HAD≌△ECD，
∴∠CDE=∠ADH=∠FDH，
∴∠ADF=∠ADH+∠FDH=2∠ADH=2∠CDE；

（2）解：如图2，延长EG交AB于M，交DA于H，连接DM，
∵△DCE沿DE翻折到△DGE，
∴△DCE≌△DGE，
∴CE=EG=2a，DG=DC=AD=4a，∠DEC=∠DEG，∠DGE=∠DCE=90°，
∵AD∥BC，
∴∠HDE=∠DEC=∠DEG，
∴DH=EH=GH+GE=GH+2a，
∴在Rt△DGH中，DH²=GH²+DG²，
即（GH+2a）²=GH²+（4a）²，
解得：GH=3a，
∵∠DAM=∠DGM=90°，
∴在Rt△ADM和Rt△DGM中

DM=DM AD=DG

∴Rt△ADM≌Rt△DGM，
∴AM=MG，
在△AMH和△GMN中

∠HAM=∠NGM=90° AM=MG ∠AMH=∠GMN

∴△AMH≌△GMN，
∴MH=MN，
∴AN=AM+MN=MG+MH=GH=3a，
∴BN=AB-AN=a，
∴CN=

BN2+BC2

=

17

a，
∴

AN

CN

=

3a

17 a

=

3 17

17

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质的应用，题目比较好，但是难度偏大．