Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°，A（0，4.8），B（3.6，0）．BC=3，
（1）AB=

 

；
（2）当△ABC形状大小不变，A、B两点沿y，x轴滑动过程中，OC的最大值为

 

；
（3）点P从A点出发沿A-B-C路径向终点运动，终点为C点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以3和1的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥x轴于E，QF⊥x轴于F．问：点P运动多少时间时，△PEB与△QFB全等？请说明理由．（A、B不与原点重合）

Answer 1

考点：勾股定理,坐标与图形性质,全等三角形的判定,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，再利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）取AB的中点D，连接OD、CD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OD，利用勾股定理列式求出CD，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、D、C三点共线时OC最大；
（3）求出点P、Q到达点C的时间，然后分点P在AB上和点P在BC上两种情况，根据全等三角形对应边相等可得PB=QB，然后列方程求解即可．

解答：解：（1）∵A（0，4.8），B（3.6，0），
∴OA=4.8，OB=3.6，
∴AB=

OA2+OB2

=

4．82+3．62

=6；
故答案为：6；

（2）取AB的中点D，连接OD、CD，
∵△AOB是直角三角形，
∴OD=BD=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
在Rt△BCD中，CD=

BC2+BD2

=

32+32

=3

2

，
当O、D、C三点共线时OC最大，最大值为3

2

+3；
故答案为：3

2

+3；

（3）∵（6+3）÷3=3，
3÷1=3，
∴点P、Q到达点C的时间都是3秒，
点P在AB上时，∵△PEB≌△BFQ，
∴PB=QB，
∴6-3t=t，
解得t=

3

2

，
点P在BC上时，∵△PEB≌△QFB，
∴PB=QB，
∴3t-6=t，
解得t=3，
综上所述，点P运动

3

2

秒或3秒时，△PEB与△QFB全等．

点评：本题考查了勾股定理，坐标与图形性质，全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，难点在于（2）确定出OC最大时的情况，（3）判断出P、Q同时到达点C是解题的关键．