已知在平面直角坐标系中.点A.B的坐标分别为A.点C的坐标为C.点P是直线AB上的一动点.直线CP与y轴交于点D．(1)当CP⊥AB时.求OD的长,(2)当点P沿直线AB移动时.以点P为圆心.以AB为直径作⊙P.过点C作⊙P的两条切线.切点分别为点E.F．①若⊙P与x轴相切,求CE的长,②当点P沿直线AB移动时.请探求是否存在四边形CEPF的最小面积S?若存在.请求出S的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，0）、B（O，4），点C的坐标为C（-2，O），点P是直线AB上的一动点，直线CP与y轴交于点D．
（1）当CP⊥AB时，求OD的长；
（2）当点P沿直线AB移动时，以点P为圆心，以AB为直径作⊙P，过点C作⊙P的两条切线，切点分别为点E、F．
①若⊙P与x轴相切；求CE的长；
②当点P沿直线AB移动时，请探求是否存在四边形CEPF的最小面积S？若存在，请求出S的值；若不存在，请说明理由．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据点A、B、C的坐标求出AB、OA、OB的长度，再根据全等三角形的判定与性质得出OD的长；
（2）①先求出直线AB的解析式，然后设出点P的坐标，根据切线的定义可得点P的纵坐标的长度等于⊙P的半径，然后求解得到x的值，即可得解；
②根据点P的坐标，利用两点间的距离公式求出PC的长度，再利用勾股定理表示出CE，然后根据切线长定理可得四边形CEPF的面积等于△PCE的面积的2倍，然后根据三角形的面积公式列式并整理，再根据二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）如图1，∵点A、B的坐标分别为A（3，0）、B（O，4），
∴AB=5，
∵点C的坐标为C（-2，O），

∴AC=5，
∴AB=5=AC．
在△AOB和△APC中，

∠BOA=∠APC

∠OAB=∠PAC

AB=AC

，
∴△AOB≌△APC（AAS），
∴AP=OA=3，CP=OB=4，
∴BP=OC=2，
在△BDP和△CDO中

∠BDP=∠CDO

∠DPB=∠DOC

BP=CO

，
∴△BDP≌△CDO（AAS），
∴DP=OD，
设DP=OD=x，则CD=4-x，
故x²+2²=（4-x）²，
解得：x=

，即OD=

；

（2）①如图（2）①，设AB解析式为y=ax+b，将A（3，0）、B（O，4），代入得出：

3a+b=0

b=4

，
解得：

a=-

b=4

，

∴AB的解析式为y=-

x+4，
设点P的坐标为（x，-

x+4），
∵⊙P与x轴相切，
∴|-

x+4|=

，
即-

x+4=

或-

x+4=-

，
解得x=

或x=

，
所以，CE=

-（-2）=

+2=

，
或CE=

-（-2）=

+2=

；

②如图（2）②
∵点P（x，-

x+4），C（-2，0），
∴PC=

(x+2)2+(-

x+4-0)2

，
∵⊙P的半径为

，
∴根据勾股定理得，CE=

PC2-PE2

(x+2)2+(-

x+4)2-(

(

x-2)2+

，
根据切线长定理，△PCE与△PCF关于直线PC成轴对称，
则四边形CEPF的面积=2S_△PCE=2×

•

(

x-2)2+

(

x-2)2+

，
当

x-2=0，即x=

时，四边形CEPF的面积有最小值，最小值为

．

点评：本题考查了一次函数的问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，切线长定理以及两点间的距离公式，二次函数的最值问题，利用直线解析式设出点P的坐标是解题的关键，本题运算量较大，比较复杂，计算时要仔细认真．

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