Question

1．已知AC是四边形ABCD的一条对角线，并且AC平分∠BAD，若∠B与∠D互补，求证：CD=CB．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，如图，根据角平分线的性质得CE=CF，再根据等角的补角相等得到∠B=∠CDF，于是可根据“AAS”证明△CBE≌△CDF，所以CB=CD．

解答 证明：过点C作CE⊥AB于E点，CF⊥AD于F点，如图，
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF，
∵∠B与∠D互补，
∠CDF与∠D互补，
∴∠B=∠CDF，
在△CBE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEB=∠F}\\{∠B=∠CDF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴CB=CD．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用利用角平分线的性质过C点向角的两边作垂线段构建全等三角形．