Question

【题目】一个边长为60米的正六边形跑道，P、Q两人同时从A处开始沿相反方向都跑一圈后停止，P以4米/秒逆时针方向、Q以5米/秒顺时针方向，PQ的距离为d米，设跑步时间为x秒，令d2＝y，

（1）跑道全长为　 　米，经过　 　秒两人第一次相遇．

（2）当P在BC上，Q在EF上时，求y关于x的函数解析式；并求相遇前当x为多少时，他们之间的距离最大．

（3）直接写出P、Q在整个运动过程中距离最大时的x的值及最大的距离．

Answer 1

【答案】（1）360，40；（2）当x＝24时，d的最大值为12米；（3）PQ的最大值为120米．

【解析】

（1）由正六边形的性质可得跑道全长；根据相遇时P、Q两人的路程之和等于跑道全长列出方程，即可求解；

（2）如图，连接BF，过点Q作QH⊥BC于H，可证四边形FBHQ是矩形，可得QH＝BF，而FB易求，则QH可得，显然PH就是Q跑x秒的路程减去P跑x秒的路程，于是PH可得，再由勾股定理即可求出y关于x的函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可；

（3）根据正六边形的性质可知：点A，B，C，D，E，F在以AD中点为圆心，AB长为半径的圆上，则可得当PQ为直径时，PQ的值最大，据此解答即可．

解：（1）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝60米，

∴跑道全长＝6×60＝360米，

∴4x+5x＝360，∴x＝40s，即经过 40秒两人第一次相遇．

故答案为：360，40；

（2）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A＝∠F＝∠B＝120°，

如图，连接BF，过点Q作QH⊥BC于H，

∵∠A＝120°，AB＝AF＝60米，∴∠AFB＝∠ABF＝30°，BF＝60米，

∴∠BFE＝∠FBC＝90°，∴四边形FBHQ是矩形，

∴QH＝BF＝60米，FQ＝BH，

∵AF+FQ＝5x米，AB+BP＝4x米，∴PH＝x米，

∴y＝QP2＝PH2+QH2，

∴y＝x2+10800，（15≤x≤24）

∴当x＝24时，d的最大值为12米；

（3）∵六边形ABCDEF是正六边形，∴点A，B，C，D，E，F在以AD中点为圆心，AB长为半径的圆上，

∵当x＝60s时，5×60＝300米，则点Q与点B重合，4×60＝240米，则点P与点E重合，

∴BE为直径时，如图，P、Q之间的距离最大，

∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BE=2AB=120米，即PQ的最大值为120米．