Question

4．已知关于x的方程：x²+2$\sqrt{2}$x+k=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=-10，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不相等的实数根得到△＞0，列出k的不等式，求出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x₁+x₂=-2$\sqrt{2}$，x₁x₂=k，进而得到k的值．

解答 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
即${（2\sqrt{2}）^2}-4k＞0$，
∴k＜2．
（2）由根与系数关系有：${x_1}+{x_2}=-2\sqrt{2}$，x₁•x₂=k．
∵$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-10$，
∴${x_1}^2+{x_2}^2=-10{x_1}{x_2}$，
∴${（{x_1}+{x_2}）^2}=-8{x_1}{x_2}$，
∴${（-2\sqrt{2}）^2}=-8k$，
∴k=-1．

点评 本题主要考查了根的判别式以及根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根以及要掌握根与系数之间的关系，此题难度一般．