Question

9．如图，正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，DE=BF．
（1）判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明；
（2）若EF=4，DE=BF=2，求四边形AECF的周长．

Answer 1

分析 （1）连接AC，交BD于点O．利用正方形的性质得出AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，进一步得出OE=OF，证得四边形AECF是菱形；
（2）利用菱形的性质和勾股定理求得即可．

解答 解：（1）四边形AECF是菱形，理由如下：
连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD
∴DE=BF
∴OE=OF
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵EF=4，DE=BF=2，
∴AC=BD=8，
∴AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}\\;}=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$，
∴四边形AECF的周长为8$\sqrt{5}$．

点评 此题考查正方形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识点，注意结合已知条件合理作出辅助线解决问题．