Question

17．已知等边三角形ABC的边长为12，点P为AC上一点，点D在CB的延长线上，且BD=AP，连接PD交AB于点E，PE⊥AB于点F，则线段EF的长为（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4.5
• D． 与AP的长度有关

Answer 1

分析 作DQ⊥AB，交直线AB的延长线于点Q，连接DE，PQ，根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四边形PEDQ是平行四边形，进而可得出EF=$\frac{1}{2}$AB，由等边△ABC的边长为12可得出DE=6．

解答 解；作DF⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠FQD=∠AEP=90°，
∴AP=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，
在△APE和△BQD中，
∵∠AEP=∠DBQ=90°，∴∠APE=∠BDQ，
∴在△APE和△BQD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠DQB}\\{∠A=∠BDQ}\\{AP=BD}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQD（AAS），
∴AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，
∴四边形PEDQ是平行四边形，
∴EF=$\frac{1}{2}$EQ，
∵EB+AE=BE+BQ=AB，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，
又∵等边△ABC的边长为12，
∴EF=6．

点评 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．