【题目】如图,的半径长为
,
垂直弦
于点
,
的延长线交
于点
,与过点
的
的切线交于点
,已知
.
若
,求
、
的长;
求
的最大值.
【答案】(1);(2)
的最大值为
.
【解析】
(1)利用切线的性质以及勾股定理得出AB的长,进而利用△BOC∽△OBF,得出即可;
(2)首先得出△BCO∽△FCB,进而用x表示出FC的长,即可利用二次函数最值求法得出即可.
(1)EC=2,则CO=5﹣2=3.
∵CO⊥AB,∴AB=2CB.在Rt△BCO中,BO=5,∴BC==
=4,∴AB=8.
∵BF为⊙O的切线,∴OB⊥BF.
在△BOC和△OBF中,∵∠OCB=∠FBO=90°,∠BOC=∠BOF,∴△BOC∽△OBF,∴=
,∴
=
,解得:BF=
;
(2)∵∠CBF+∠OBC=90°,∠BOC+∠OBC=90°,∴∠CBF=∠BOC,又∠BCF=∠BCO=90°,∴△BCO∽△FCB,∴=
,∴BC2=OC×FC.
∵OC=5﹣x,OB=5,∴BC2=BO2﹣CO2=25﹣(5﹣x)2,∴25﹣(5﹣x)2=CO×FC=(5﹣x)×FC,∴FC=,∴EF×CO2=(FC﹣EC)×CO2
=(﹣x)(5﹣x)2=5x(5﹣x)=﹣5(x﹣
)2+
∴EF×CO2的最大值为.
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【题目】已知,一次函数的图像与
轴、
轴分别交于点A、点B,与直线
相交于点C.过点B作
轴的平行线l.点P是直线l上的一个动点.
(1)求点A,点B的坐标.
(2)若,求点P的坐标.
(3)若点E是直线上的一个动点,当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时,求点E的坐标.
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【题目】如图,在四边形ABCD中, ∠B=90°,DE//AB交BC于E、交AC于F,∠CDE=∠ACB=30°,BC=DE.
(1)求证:△ACD是等腰三角形;
(2)若AB=4,求CD的长.
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【题目】操作发现:如图,已知△ABC和△ADE均为等腰三角形,AB=AC,AD=AE,将这两个三角形放置在一起,使点B,D,E在同一直线上,连接CE.
(1)如图1,若∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=55°,求证:△BAD≌△CAE;
(2)在(1)的条件下,求∠BEC的度数;
拓广探索:(3)如图2,若∠CAB=∠EAD=120°,BD=4,CF为△BCE中BE边上的高,请直接写出EF的长度.
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【题目】如图.在平面直角坐标系内,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,﹣2),B(4,﹣1),C(3,﹣3)(正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度).
(1)作出△ABC向左平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的△A1B1C1;
(2)以坐标原点O为位似中心,相似比为2,在第二象限内将△ABC放大,放大后得到△A2B2C2作出△A2B2C2;
(3)以坐标原点O为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°,得到△A3B3C3,作出△A3B3C3,并求线段AC扫过的面积.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB=4,BD=4,E为AB的中点,点P为线段AC上的动点,则EP+BP的最小值为( )
A. 4B. 2C. 2
D. 8
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【题目】如图1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E在AC上(且不与点A、C重合).在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,连接AD,分别以AB,AD为邻边作平行四边形ABFD,连接AF.
(1)求证:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如图2,将△CED绕点C逆时针旋转,当点E在线段BC上时,连接AE,求证:AF=AE;
(3)如图3,将△CED绕点C继续逆时针旋转,当平行四边形ABFD为菱形,且△CED在△ABC的下方时,若AB=2,CE=2,求线段AE的长.
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【题目】如图,在
中,
,
,
.动点
在
边上,以点
为圆心,
长为半径的
分别交
、
于点
、
,连接
.
若点
为
边上的中点(如图
),请你判断直线
与
的位置关系,并证明你的结论;
当
时(如图
),请你求出此时弦
的长.
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