Question

8．△ABC为等边三角形，以AB边为腰作等腰RtABD，AC与BD交于点E，连接CD，过点D作DF⊥BC交BC延长线于点F．
（1）如图1，若DF=1，求AE的长；
（2）如图2，将△CDF绕点D顺时针旋转至△C₁DF₁的位置，点C，F的对应点分别为C₁、F₁．连接AF₁，BC₁，点G是BC₁的中点，连接AG，求证：AF₁=$\sqrt{2}$AG．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AM⊥BC于M，AN⊥DF于N，EH⊥AB于H，在BF上取一点K，使得BK=DK．由△AMB≌△AND，推出AM=AN，四边形AMFN是正方形，推出FM=FN，由Rt△ACM≌Rt△ADN，推出CM=DN，推出CF=DF=1，由∠KBD=∠KDB=15°，推出∠DKF=∠KBD+∠KDB=30°推出KD=KB=2，KF=$\sqrt{3}$，推出BF=2+$\sqrt{3}$，BC=AB=$\sqrt{3}$+1，设AE=x，则AH=$\frac{1}{2}$x，BH=HE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，可得$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=1+$\sqrt{3}$，解方程即可解决问题．
（2）如图2中，延长FG到M，延长BA交F₁C₁的延长线于N，使得GM=F₁G，则△GMB≌△GF₁C₁，只要证明△ABM≌△ADF₁，即可推出△AMF₁是等腰直角三角形，延长即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作AM⊥BC于M，AN⊥DF于N，EH⊥AB于H，在BF上取一点K，使得BK=DK．

∵∠BAD=∠BFD=90°，
∴∠BAD+∠BFD=180°，
∴∠ABF+∠ADF=180°，∵∠ABC=60°，
∴∠ADF=120°，
∴∠ADN=60°，
在△AMB和△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠ADN}\\{∠AMB=∠N}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△AND，
∴AM=AN，
∵四边形AMFN是矩形，
∴四边形AMFN是正方形，
∴FM=FN，
在Rt△ACM和Rt△ADN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACM≌Rt△ADN，
∴CM=DN，
∴CF=DF=1，
∵∠ABC=60°，∠ABD=45°，
∴∠KBD=∠KDB=15°，
∴∠DKF=∠KBD+∠KDB=30°
∴KD=KB=2，KF=$\sqrt{3}$，
∴BF=2+$\sqrt{3}$，BC=AB=$\sqrt{3}$+1，设AE=x，则AH=$\frac{1}{2}$x，BH=HE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=1+$\sqrt{3}$，
∴x=2，
∴AE=2．
（2）证明：如图2中，延长F₁G到M，延长BA交F₁C₁的延长线于N，使得GM=F₁G，则△GMB≌△GF₁C₁，

∴BM=F₁C₁=DF₁，∠BMG=∠GF₁N，
∴BM∥F₁N，
∴∠MBA=∠N，
∵∠NAO=∠OF₁D=90°，∠AON=∠DOF₁，
∴∠N=∠ADF₁，
∴∠ABM=∠ADF₁，∵AB=AD，
∴△ABM≌△ADF₁，
∴AM=AF₁，∠MAB=∠DAF₁，
∴∠MAF₁=∠BAD=90°，
∴△AMF₁是等腰直角三角形，
∴AG⊥MF₁，AG=GF₁，
∴AF₁=$\sqrt{2}$AG．

点评 本题考查旋转变换、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．