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【题目】如图,AB是半圆O的直径,射线AM⊥AB,点P在AM上,连接OP交半圆O于点D,PC切半圆O于点C,连接BC,OC.
(1)求证:△OAP≌△OCP;
(2)若半圆O的半径等于2,填空: ①当AP=时,四边形OAPC是正方形;
②当AP=时,四边形BODC是菱形.

【答案】
(1)证明:∵PC切半圆O于点C,

∴OC⊥PC,

∵AM⊥AB,

∴∠OAP=90°,

在Rt△OAP和Rt△OCP中

∴Rt△OAP≌Rt△OCP


(2)2;2
【解析】(2)解:①∵Rt△OAP≌Rt△OCP,

∴PA=PC,

而OA=OC,

∴当AO=AP时,四边形OAPC为菱形,

而∠OAP=90°,

∴四边形OAPC是正方形,

此时AP=OA=2;

②∵四边形BODC是菱形,

∴OB=OD=CD=BC,BC∥OD,

∴△OBC为等边三角形,

∴∠B=60°,

∴∠AOP=60°,

在Rt△OAP中,∵tan∠AOP=

∴AP=2tan60°=2

即AP=2 时,四边形BODC是菱形.

所以答案是2,2

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