Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，D（m，m+4）为直线AB上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C，CD的延长线交抛物线于点E，连接BE．
（1）点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4）．抛物线的解析式为y=-x²-3x+4；
（2）若点D只在线段AB上运动，且△DBE与△DAC相似，求m的值；
（3）若以点E、D、O、B为顶点的四边形是平行四边形，直接写出D点的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数；
（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值，进而得出点D的坐标．

解答 解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4）．
∵点A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：b=-3，c=4，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4，
故答案为：-4；0；0；4；-x²-3x+4；
（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，CD=AC=4+m，BD=$\sqrt{2}$OC=-$\sqrt{2}$m，则D（m，4+m），
∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似，
∴△DBE必为等腰直角三角形，
（i）若∠BED=90°，则BE=DE，
∵BE=OC=-m，
∴DE=BE=-m，
∴CE=4+m-m=4，
∴E（m，4），
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-3，
（ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=-$\sqrt{2}$m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=$\sqrt{2}$BD=-2m，
∴CE=4+m-2m=4-m，
∴E（m，4-m）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4-m=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-2，
综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，m的值为-2或-3；
（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，AC=4+m．
∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴CD=AC=4+m，
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，
∴点E坐标为（m，8+m），
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴8+m=-m²-3m+4，解得m₁=m₂=-2．
∴D（-2，2）．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形等重要知识点．第（2）问需要分类讨论，这是本题的难点．